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中国古代的求解一次同余式组的方法，被誉为中国剩余定理，是数论中的重要定理之一。最早的记录可以追溯到《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”
在解这个问题时，关键数70、21、15各有什么妙用和性质呢？
首先，70是一个满足3除余1，同时又能被5和7整除的数。因此，70a会在3除时余a，在5和7除时则会被整除。同理，21是5除余1，同时又能被3和7整除的数，因此21b会在5除时余b，而在3和7除时会被整除。15则是一个7除余c，同时又能被3和5整除的数，因此15c会在7除时余c，而在3和5除时则会被整除。
将这些数相加，70a + 21b + 15c的结果将在3除时余a，在5除时余b，在7除时余c。因此，这个和可能是问题的一个解，但不一定是最小的正数解。为了找到最小的正数解，可以对结果减去105（即3×5×7=105），因为105是3、5、7的最小公倍数。通过多次减去105，可以得到最小的正数解。
例如，在题目中给出的三个条件是3、5、7。我们需要找到一个数x，使得：
为了满足这些条件，我们可以分别处理每个模数对应的余数。首先，考虑35（5×7）的倍数，因为5和7的最小公倍数是35。我们需要找到一个数，使其在5和7除时分别余1和1。
将35乘以3得到105，这样105在5除时余0，在7除时余0，但我们需要余1。因此，我们可以将35乘以4，得到140，这样140在5除时余0，在7除时余0，但这样并不能满足余1的条件。于是，我们需要寻找另一个方法。
接下来，我们考虑3和5的最小公倍数是15。我们需要找到一个数，使其在3和5除时分别余1和1。将15乘以1得到15，在3除时余0，这不符合要求。将15乘以2得到30，这样在3除时余0，同样不符合。继续尝试，将15乘以4得到60，60在3除时余0，仍然不行。继续尝试，将15乘以5得到75，75在3除时余0，仍然不行。继续尝试，将15乘以7得到105，105在3除时余0，同样不行。继续尝试，将15乘以8得到120，120在3除时余0，仍然不行。继续尝试，将15乘以9得到135，135在3除时余0，仍然不行。继续尝试，将15乘以10得到150，150在3除时余0，同样不行。
看来我们需要寻找另一个方法来解决这个问题。我们可以尝试使用中国剩余定理，通过找到满足所有条件的最小正数。
首先，考虑模5和模7的条件：
我们可以设x = 5k + 1，其中k是一个整数。然后将x代入模7的条件：5k + 1 ≡ 1 mod 7 ⇒ 5k ≡ 0 mod 7 ⇒ k ≡ 0 mod 7
因此，k可以表示为7m，其中m是一个整数。因此，x = 5×7m + 1 = 35m + 1。
现在，我们将x代入模3的条件：35m + 1 ≡ 2 mod 3 ⇒ 35m ≡ 1 mod 3 ⇒ 35 ≡ 2 mod 3 ⇒ 2m ≡ 1 mod 3 ⇒ m ≡ 2 mod 3
因此，m可以表示为3n + 2，其中n是一个整数。因此，x = 35×(3n + 2) + 1 = 105n + 70 + 1 = 105n + 71。
因此，最小的正数解是当n=0时，x=71。
不过，在实际应用中，可能需要通过更简便的方法来寻找这些关键数。例如，在孙子问题中，使用关键数70、21、15来构造解。具体来说，70是满足3、5、7的某些余数条件的数，而21和15分别是满足其他余数条件的数。通过组合这些数，可以得到一个满足所有条件的解。
例如，70×2 + 21×3 + 15×2 = 140 + 63 + 30 = 233。然后，我们可以通过减去105的倍数来找到最小的正数解：233 - 2×105 = 233 - 210 = 23。
因此，最小的正数解是23。
总结来说，关键数70、21、15分别对应于满足不同模数条件的数，通过组合这些数，可以构造出一个满足所有条件的解。通过适当的加减105（即3×5×7），可以找到最小的正数解。
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